Matematika Dikstrit

BARISAN DAN DERET

A.     BARISAN

            Barisan bilangan adalah himpunan bilangan yang di urutkan menurut suatu aturan/pola tertentu yang dihubungkan dengan tanda “,”. Jika pada barisan tanda “,” diganti dengan tanda “+” , maka disebut deret. Masing-masing bilangan itu disebut suku-suku barisan,setiap suku diberi nama sesuai dengan nomor urutnya.

Secara umum barisan bilangan dapat ditulis :

U_1,u_2,u_3,………………………._,u_n  dengan u_n  sering disebut f(n) yang menyatakan suku ke-n,  

  Sedangkan untuk deret bilangan dapat ditulis :

U₁ + u₂ + u₃ + …………………..+ u_n

1.  Barisan Aritmatika

Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai tambahan bilangan yang  tetap,maka barisan ini disebut Barisan Aritmatika.

Missal :

a.       2,5,8,11,14……………………ditambah 3 dari suku didepannya

b.      100,95,90,85,80…………….dikurangi 5 dari suku didepannya

Bentuk umum barisan aritmatika seperti berikut :

U₁,u₂,u_3,……………………_,u_n-1

Atau

a,a + b,a + 2b,………,a + (n-1) b

keterangan :

                        u₁  = a = suku pertama

                        u_n-1  = beda = b

                        u_n   = suku ke-n

                        n  =  banyaknya suku/urutan suku

Maka rumus suku ke-n barisan aritmatika adalah :

U_n  = a + (n-1) b, dengan n = 1,2,3,………..

Contoh :

Tentukan suku ke-20 barisan  bilangan 2,5,8,11,…………..

Penyelesaian :

a = 2

b = 5-2 = 3

u_n  = a + (n-1) b

                 = 2 + (20 – 1) 3

                 = 2 + 60 – 3

                 = 59

2.     Barisan geometri

Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai kelipatan bilangan tetap maka disebut barisan geometri.

Missal :

a.       2,4,8,16,32,64,128,………………dikalikan 2 dari suku didepannya.

b.      80,40,20,10,5,2_1/2 ………………..dikalikan _1/2  dari suku didepannya.

Bentuk umum dari barisan geometri adalah :

U_n = a   

Keterangan  :

a = suku pertama

r = rasio

  B.  DERET

       Deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan

Missal :

Deret Aritmatika (deret hitung ) : 2+ 4 + 6 + 8 + 10 =30

Deret geometri (deret ukur ) : 2 +4 +8 + 16 + 32 = 62

1.     Deret Aritmatika

Deret Aritmatika disebut juga deret hitung. Apabila suku-suku didalam barisan aritmatika dijumlahkan,maka didapat deret aritmatika. Jadi, bentuk baku deret aritmatika adalah  a + (a + b ) +  (a + 2b) + ( a + 3b ) + ……………+ (a + (n-1) b ).

Jika jumlah n suku deret aritmatika dinyatakan dengan Sn. Maka didapat rumus :

Karena  u_n = a + (n-1) b maka Sn didapat rumus Sn :

Sn = (a + u_n)

Contoh soal :

Hitunglah jumlah 40 suku pertama dari deret aritmatika  5 + 10 + 15………….

Jawab :

A = 5,b = 10 – 5 = 5.

Dan  = 40, maka :

Sn =   

    ₄₀ =

          = 20  (10 + (39) 5 )

          = 20 ( 10 + 195 )

          = 20 (205)

          = 4100

2.      Deret Geometri

Deret geometri juga disebut dengan deret hitung

 = a

Contoh :

Carilah jumlah 7 suku pertama deret : 2 + 6 + 18 + 54 +…….

Jawab:

Diket :

a = 2

r = 3

n = 7

Contoh 1

Tulis rumus dari 2,3,4……….

    Penyelesaian :

a = 2

b = 3-2 = 1

u_n   = a + (n-1) b

u_n = 2 + (n-1) 1

u_n = 2 + n-1

u_n = n – 1

Contoh 2

Dikeahui barisan aritmatika 3,8,13,………..

a.       Tentukan suku ke-10 dan rumus suku ke-n barisan tersebut

b.      Suku keberapakah yang nilainya 198 ?

     Penyelesaian :

a.       Dari barisan aritmatika 3,8,13,……diproleh suku pertama a = 3 dan b = 8-3 = 5

U_n   = a + (n-1) b

                  U₁₀ = 3 + (10-1) 5

                          = 3 + 9 x 5

                          = 3 + 45

                          = 48

                  U_n  = a + (n-1) b

                        = 3 + (n-1) 5

                        = 3 + 5_n 5

                        = 5_n

b.      Misalkan  u_n  = 198, maka berlaku :

   U_n   = 198

                5_n  = 198

                  5_n   = 200

                       n = 40

jadi 198 adalah suku ke-n 40

Contoh 3

hitunglah jumlah 40 suku pertama dari deret aritmatika 5 + 10 + 15 + ………

    penyelesaian :

A = 5, b = 10  = 5

Dan n = 40, maka :

                                         =

                                        = -(2(5) +(40-1) 5)

                                              = 20 (10 + (39) 5)

                                              = 20 (10 + 195)

                                              = 20 (205)

                                              = 4100